El Factorial de un número

Introducción

En este artícu­lo vamos a ver cómo se define la operación fac­to­r­i­al de un número, cál­cu­los y propiedades. Se tra­ta de una operación útil que se apli­ca común­mente en el desar­rol­lo en serie de funciones.

Definición del Factorial de un Número

Esta operación se sim­boliza con el sím­bo­lo de admiración por delante del número a apli­car­la, el fac­to­r­i­al de 3 se sim­boliza !3.

Se apli­ca a los números nat­u­rales incluyen­do el 0. Esto quiere decir que no podemos cal­cu­lar­le el fac­to­r­i­al a un número neg­a­ti­vo o a un número con dec­i­males, ver con­jun­tos numéri­cos para más infor­ma­ción.

El fac­to­r­i­al de 0 es igual a 1, esto es !0 = 1.

El fac­to­r­i­al es igual a ese número mul­ti­pli­ca­do por el fac­to­r­i­al del número ante­ri­or. Esta propiedad la podemos seguir apli­can­do has­ta lle­gar al fac­to­r­i­al de 0.

Podemos rep­re­sen­tar esta operación usan­do el sím­bo­lo de pro­duc­to­ria, de la sigu­iente manera:

(1)   \begin{equation*}    4! =  \prod_{i=1}^{4}{i}= 1.2.3.4 = 24\end{equation*}

Una for­ma de cal­cu­lar el fac­to­r­i­al en pro­gra­mación es usan­do esta notación de pro­duc­to­ria y resolver­la en un bucle, tal como vimos en el artícu­lo sobre suma­to­ria y pro­duc­to­ria.

Ejemplos de utilización del factorial

Desarrollos en serie

Un ejem­p­lo de uti­lización de esta operación es en el desar­rol­lo en Serie de Tay­lor o de poten­cias, la cual con­siste en una serie de tér­mi­nos infini­tos a los que podemos ajus­tar los coe­fi­cientes para que se aprox­i­men a una fun­ción que quer­amos y que cumpla las condi­ciones mín­i­mas para que esto sea posible.

desarrollo en Serie de Taylor de una función f(x). Aplicación del factorial.
Fig. 1: Desar­rol­lo en Serie de Tay­lor de una fun­ción f(x). Apli­cación del factorial.

Obser­ven en la figu­ra 1 en el divi­sor del tér­mi­no de la suma­to­ria hay un número que va des­de 0 a infini­to y se le apli­ca el factorial.

La aprox­i­mación por series es algo muy útil porque per­mite encon­trar solu­ciones numéri­c­as a deter­mi­na­dos prob­le­mas, en lugar de eval­u­ar una fun­ción com­pli­ca­da o inclu­so una fun­ción no cono­ci­da, eval­u­amos polinomios.

Números Combinatorios

Los números com­bi­na­to­rios resul­tan útiles para varias apli­ca­ciones, por ejem­p­lo para saber cuán­tas com­bi­na­ciones posi­bles exis­ten entre cier­tas can­ti­dades. En la defini­ción de números com­bi­na­to­rios se uti­lizan factoriales:

    \[\binom{n}{m} = \frac{n!}{m!(n-m)!}\]

Conclusión

Hemos vis­to la operación fac­to­r­i­al que se sim­boliza con el sig­no de admiración y se define como una mul­ti­pli­cación de un número por todos los números nat­u­rales ante­ri­ores a él.

El fac­to­r­i­al se apli­ca a los números nat­u­rales incluyen­do el 0.

El fac­to­r­i­al de 0 es igual a 1, de ahí en ade­lante, el fac­to­r­i­al de un número se define como el pro­duc­to de todos los números nat­u­rales has­ta lle­gar a ese número.

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