Sumatoria y Productoria

Introducción

En este artícu­lo vamos a las opera­ciones de suma­to­ria y pro­duc­to­ria, las cuales nos per­miten realizar sumas y pro­duc­tos de man­era repet­i­ti­va con un patrón cono­ci­do, vamos a ver cómo se rep­re­sen­tan y cómo realizar los cál­cu­los. Al final vamos a ver cómo pro­gra­mar suma­to­rias y pro­duc­to­rias en lengua­je Java o C#.

Imple­men­tar una SUMATORIA en lengua­je C# para Unity

¿Qué es la sumatoria y la productoria?

La suma­to­ria y pro­duc­to­ria son for­mas de definir opera­ciones matemáti­cas que con­sis­ten en secuen­cias de sumas y pro­duc­tos respectivamente. 

Imag­inemos que ten­emos que sumar o mul­ti­plicar todos los números comen­zan­do en el 1 y ter­mi­nan­do en el 1000, pero además mul­ti­plicar cada uno de ellos por 3. 

Uti­lizan­do la sim­bología de la suma­to­ria y pro­duc­to­ria podemos escribir largas opera­ciones como esas de for­ma abre­vi­a­da. Además las propiedades nos pueden ayu­dar a sim­pli­ficar la expre­sión y cal­cu­lar los resul­ta­dos con may­or facilidad.

Símbolo de Sumatoria y Desarrollo matemático

La suma­to­ria se sim­boliza con la letra grie­ga Sig­ma en mayúscula.

Deba­jo del sím­bo­lo de suma­to­ria se indi­ca la vari­able índice y des­de qué val­or ini­cia. En la parte supe­ri­or del sím­bo­lo se indi­ca el últi­mo val­or que tomará el índice.

A la derecha del sím­bo­lo está la expre­sión que deter­mi­na todos los tér­mi­nos de la suma­to­ria, cada tér­mi­no surge de reem­plazar el índice en la expre­sión des­de el primer al últi­mo valor.

En la ecuación 1 vemos del lado izquier­do la expre­sión de la suma­to­ria y del lado dere­cho la operación desarrollada.

(1)   \begin{equation*}    \sum_{i=1}^{5}{i}=1+2+3+4+5=15\end{equation*}

¿Cómo programar una Sumatoria?

Imple­men­tar la suma­to­ria en algún lengua­je de pro­gra­mación es rel­a­ti­va­mente sim­ple, debe­mos definir una vari­able para acu­mu­lar la suma que debe estar ini­cial­iza­da en 0 (ele­men­to neu­tro para la suma). Ten­emos que ten­er en cuen­ta a qué con­jun­to numéri­co pertenecen los suman­dos, de esto depen­derá el tipo de vari­able a elegir.

Defin­i­mos una vari­able entera para el fin de la sumatoria.

Hace­mos un bucle for que va des­de el ini­cio de la suma­to­ria has­ta el final y en el inte­ri­or del bucle defin­i­mos la operación a realizar. 

En la figu­ra 1 vemos la imple­mentación de la suma­to­ria de la ecuación 1 jun­to con el resul­ta­do impre­so en consola. 

programacion de una sumatoria de los primeros 5 numeros enteros en lenguaje java, netbeans
Fig. 1: Imple­mentación de la suma­to­ria de la ecuación 1 en Java, IDE Netbeans.

Símbolo de Productoria y desarrollo

La pro­duc­to­ria se sim­boliza con la letra Pi en mayúscula. 

Deba­jo del sím­bo­lo de pro­duc­to­ria se indi­ca la vari­able índice y des­de qué val­or ini­cia. En la parte supe­ri­or del sím­bo­lo se indi­ca el últi­mo val­or que tomará el índice. 

A la derecha del sím­bo­lo está la expre­sión que deter­mi­na todos los tér­mi­nos de la pro­duc­to­ria, cada tér­mi­no surge de reem­plazar el índice en la expre­sión des­de el primer al últi­mo valor. 

En la ecuación 2 vemos del lado izquier­do la expre­sión de la pro­duc­to­ria y del lado dere­cho la operación desarrollada. 

(2)   \begin{equation*}    \prod_{i=1}^{5}{i}= 1.2.3.4.5 = 120\end{equation*}


Implementar la productoria en programación

Imple­men­tar la pro­duc­to­ria es sim­i­lar a hac­er la suma­to­ria, debe­mos definir una vari­able para acu­mu­lar el pro­duc­to que deberá estar ini­cial­iza­da en 1 (ele­men­to neu­tro del pro­duc­to). Tam­bién anal­izamos el tipo de números que esta­mos mul­ti­pli­can­do para ele­gir el tipo de la vari­able de acumulación.

Defin­i­mos una vari­able entera para el fin de la productoria.

Hace­mos un bucle for que va des­de el ini­cio de la pro­duc­to­ria has­ta el final y en el inte­ri­or del bucle defin­i­mos la operación a realizar. 

En la figu­ra 2 vemos la imple­mentación de la pro­duc­to­ria de la ecuación 2 jun­to con el resul­ta­do impre­so en consola. 

programacion de una productoria de los primeros 5 numeros enteros en lenguaje java, netbeans
Fig. 2: Imple­mentación de la pro­duc­to­ria de la ecuación 2 en Java, IDE Net­beans.

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