Conjuntos numéricos. Tipos de números y aplicación

Introducción

Los con­jun­tos numéri­cos se uti­lizan para agru­par números que tienen car­ac­terís­ti­cas sim­i­lares. Es uno de los con­cep­tos bási­cos de la matemáti­ca por lo que es impor­tante cono­cer cuáles son estos con­jun­tos y qué car­ac­terís­ti­cas tienen los números que pertenecen a cada con­jun­to. En este artícu­lo encon­trarás infor­ma­ción sobre los dis­tin­tos tipos de números y un vídeo de mi canal de YouTube que resume la información. 

Te recomiendo empezar por este vídeo en el que resumo conjuntos numéricos:

En este vídeo vemos breve­mente qué son los con­jun­tos numéri­cos, car­ac­terís­ti­cas de cada con­jun­to y ejem­p­los de números para cada con­jun­to numéri­co. Conc­re­ta­mente vemos los con­jun­tos NATURALES, ENTEROS, RACIONALES, IRRACIONALES, REALES, IMAGINARIOS Y COMPLEJOS.

¿Para qué se usan los conjuntos numéricos?

Los con­jun­tos numéri­cos se uti­lizan para sep­a­rar los números en dis­tin­tas clases que tienen propiedades sim­i­lares.

Esto debe­mos tomar­lo sim­ple­mente como una for­ma de orga­ni­zación, en la cual, dado un número especí­fi­co, dec­i­mos que ese número pertenece a un deter­mi­na­do con­jun­to.

Conjuntos numéricos

Los con­jun­tos numéri­cos bási­cos son los siguientes:

• Nat­u­rales — ℕ
• Enteros — ℤ
• Racionales — ℚ
• Reales — ℝ
• Com­ple­jos — ℂ

Cada con­jun­to más gen­er­al va engloban­do al con­jun­to ante­ri­or es decir que por ejem­p­lo todos los números nat­u­rales son enteros, pero no todos los números enteros son naturales.

Conjunto de Números Naturales (ℕ)

Este con­jun­tos está com­puesto por los números {1,2,3,…} (los pun­tos sus­pen­sivos indi­can que la enu­meración con­tinúa indefinida­mente), estos números son todos pos­i­tivos y rep­re­sen­tan mag­ni­tudes enteras, es decir no tienen parte decimal.

Conjunto de Números Enteros (ℤ)

Si a los números nat­u­rales agreg­amos el número 0 y los números neg­a­tivos sin parte dec­i­mal obten­emos el con­jun­to de los números enteros. {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}.

Con los números neg­a­tivos podemos rep­re­sen­tar opera­ciones de sus­trac­ción, mag­ni­tudes fal­tantes, val­ores que se encuen­tran por deba­jo del cero de ref­er­en­cia y demás.

Algunos ejem­p­los son flu­jos salientes de dinero, es decir dinero que pag­amos y se res­ta de lo que ten­emos; tem­per­at­uras bajo cero se expre­san como val­ores neg­a­tivos de gra­dos centígrados.

Conjunto de Números Racionales (ℚ)

El con­jun­to de los números racionales surge de hac­er divi­siones de dos números enteros. Por ejem­p­lo 1 divi­di­do 2 es una operación que da lugar a un número que es más pequeño que 1 pero más grande que 0.

Estos números se uti­lizan para rep­re­sen­tar mag­ni­tudes no enteras, por ejem­p­lo vari­ables de nat­u­raleza con­tin­ua como veloci­dad, peso, cor­ri­ente eléc­tri­ca; expre­sar can­ti­dades frac­cionables por ejem­p­lo medio kilo de hari­na son 0.5 Kg de harina. 

Conjunto de Números Reales (ℝ)

Si al con­jun­to de los números racionales le agreg­amos el con­jun­to de los números irra­cionales obten­emos el con­jun­to de los números reales.

Los números irra­cionales sur­gen de realizar cier­tas opera­ciones y no es posi­ble expre­sar­los como el cociente entre dos números enteros.

Un ejem­p­lo de este tipo de números es el cono­ci­do número Pi que se com­pone de infini­tas cifras decimales.

Conjunto de Números Complejos (ℂ)

Si al con­jun­to de los números reales agreg­amos los números imag­i­nar­ios, obten­emos el con­jun­to de números com­ple­jos. Todo número que eli­jamos será en tér­mi­nos gen­erales un número complejo.

El número imag­i­nario i es el resul­ta­do de la raíz cuadra­da de ‑1.

Los números com­ple­jos se com­po­nen de una parte real y una parte imag­i­nar­ia y son muy útiles para el estu­dio de cir­cuitos eléc­tri­cos que involu­cran ele­men­tos capac­i­tivos o inducitvos. Tam­bién se uti­lizan en cál­cu­los de trans­for­madas de Fouri­er.

Conjuntos Numéricos en Programación

Modelado de los elementos del juego

Para mod­e­lar el com­por­tamien­to de dis­tin­tos ele­men­tos en nue­stro juego prob­a­ble­mente nece­sitare­mos usar dis­tin­tos tipos de números. 

Por ejem­p­lo un per­son­aje puede ten­er un niv­el de vida rep­re­sen­ta­do por cora­zones. Al recibir daño pierde un corazón y al tomar una poción cura­ti­va recu­pera un corazón. En este caso el niv­el de salud es una mag­ni­tud entera.

Tam­bién podemos pen­sar por ejem­p­lo que cada corazón se puede frac­cionar en cua­tro partes y cada golpe recibido nos qui­ta un cuar­to de corazón. Además podría ser que un ene­mi­go fuerte nos quite tres cuar­tos de corazón con cada golpe. En este caso los cora­zones los esta­mos pen­san­do como mag­ni­tudes racionales y vamos a nece­si­tar números dec­i­males para representarlas.

Todo depen­derá de cómo quer­e­mos que sea nue­stro modelo.

De los conjuntos numéricos a la programación

Para rep­re­sen­tar los dis­tin­tos tipos de números que nece­si­ta­mos para con­stru­ir mod­e­los, con­ta­mos con ele­men­tos lla­ma­dos vari­ables, que son espa­cios en la memo­ria donde se alma­ce­na información.

Para aden­trarse un poco en el cam­po de la infor­máti­ca ten­go un video expli­can­do qué es una vari­able en pro­gra­mación y tam­bién hay disponible un artícu­lo en esta pági­na.

Tipos de variables numéricas en C#

Variables Enteras

Los lengua­jes de pro­gra­mación nos ofrece dis­tin­tas vari­ables para rep­re­sen­tar dis­tin­tos tipos de datos.

Para rep­re­sen­tar mag­ni­tudes enteras ten­emos por ejem­p­lo el byte, el short, int y long.

Cada uno tiene su pro­pio ran­go de rep­re­sentación, por ejem­p­lo el int nos per­mite rep­re­sen­tar números enteros que están entre -2,147,483,648 y 2,147,483,647. El short en cam­bio nos per­mite rep­re­sen­tar números entre -32,768 y 32,767, el cual tam­bién es un ran­go bas­tante exten­so para un gran número de aplicaciones.

En mi caso por una cuestión de sim­pli­ci­dad sue­lo uti­lizar vari­ables tipo int para rep­re­sen­tar mag­ni­tudes enteras, aunque en muchos casos esta vari­able está sobred­i­men­sion­a­da, por ejem­p­lo si se uti­liza la vari­able entera para rep­re­sen­tar la edad de una persona.

Vídeo sobre cómo generar número enteros de manera aleatoria en C#

Variables Reales

Para rep­re­sen­tar val­ores dec­i­males en com­putación se uti­liza el sis­tema de pun­to flotante.

Ten­emos las vari­ables tipo float de 32 bits, las vari­ables tipo dou­ble de 64 bits y las vari­ables tipo dec­i­mal de 128 bits. Cada una tiene un deter­mi­na­do ran­go de rep­re­sentación y precisión.

En com­putación no se pueden alma­ce­nar infini­tos dígi­tos, de modo que los números irra­cionales se rep­re­sen­tarán como números racionales y sur­girá un error de trun­camien­to.

Variables Complejas

Los números com­ple­jos se pueden rep­re­sen­tar con dos números reales, uno es la parte real y otro la parte imag­i­nar­ia, esta últi­ma estará mul­ti­pli­ca­da por el número i. Como se expre­sa en la sigu­iente ecuación:

Z = X + i . Y

Sien­do X e Y números reales y Z un número complejo.

Podemos rep­re­sen­tar los números com­ple­jos uti­lizan­do dos floats con nom­bres sig­ni­fica­tivos para las partes real e imag­i­nar­ia, podemos usar vec­tores de dos com­po­nentes, o podemos uti­lizar la clase Com­plex de C#.

Conclusión

Los con­jun­tos numéri­cos se uti­lizan para agru­par dis­tin­tos tipos de números que tienen car­ac­terís­ti­cas similares.

Cono­cer estos con­jun­tos y sus propiedades nos ayu­dará en la con­struc­ción de mod­e­los computacionales.

Para imple­men­tar los números en pro­gra­mación con­ta­mos con ele­men­tos lla­ma­dos vari­ables. Exis­ten dis­tin­tos tipos de vari­ables para rep­re­sen­tar números enteros y racionales, cada tipo tiene su pro­pio ran­go de representación.