Circunferencia

Introducción

En este artícu­lo vamos a estu­di­ar la figu­ra geométri­ca cir­cun­fer­en­cia, sus car­ac­terís­ti­cas y ecuación matemáti­ca. Además vamos a ver cómo cal­cu­lar su perímetro y área.

Definición de una circunferencia

Una cir­cun­fer­en­cia es una figu­ra geométri­ca en la cual todos sus pun­tos se encuen­tran a la mis­ma dis­tan­cia de un deter­mi­na­do pun­to lla­ma­do cen­tro, dicha dis­tan­cia se conoce como radio de la cir­cun­fer­en­cia. En la figu­ra 1 vemos el grá­fi­co de una cir­cun­fer­en­cia genéri­ca cuyo cen­tro se encuen­tra en el pun­to (a,b) y tiene un radio r.

grafico de una circunferencia generica de radio r y centro en el punto a,b. figura geometrica cuyos puntos equidistan de un punto llamado centro una distancia llamada radio
Fig. 1: Grá­fi­co de una cir­cun­fer­en­cia de radio R cen­tra­da en (a,b).

Ecuación de una Circunferencia

Cono­cien­do la expre­sión matemáti­ca de una cir­cun­fer­en­cia podremos dibu­jar­la en el plano carte­siano y pos­te­ri­or­mente uti­lizarla en nue­stros proyec­tos de pro­gra­mación y desar­rol­lo de videojuegos.

Coordenadas cartesianas

La expre­sión que define una cir­cun­fer­en­cia en coor­de­nadas carte­sianas es la siguiente:

(1)   \begin{equation*}    ( x - a )^2+( y - b )^2=R^2\end{equation*}

Donde R es el radio de la cir­cun­fer­en­cia y su cen­tro se sitúa en el pun­to (a,b) del plano carte­siano.

En este caso para dibu­jar la cir­cun­fer­en­cia debe­mos cono­cer el ran­go de val­ores de las vari­ables X e Y. Por ejem­p­lo con­sid­er­e­mos el cír­cu­lo unidad cen­tra­do en (0,0):

(2)   \begin{equation*}    x^2+y^2=1\end{equation*}

Si dibu­jamos un cír­cu­lo de radio 1 con cen­tro en (0,0) podemos ver que tan­to los val­ores de X como de Y van a estar en el inter­va­lo [-1,1]. Al ele­gir un val­or de ese inter­va­lo y asig­narlo a una de las vari­ables podremos despe­jar la ecuación y obten­er el val­or de la otra variable.

Coordenadas paramétricas

Tam­bién puede ser útil la expre­sión de una cir­cun­fer­en­cia en el sis­tema de coor­de­nadas paramétri­c­as ya que al estar definido con fun­ciones per­iódi­cas, el ran­go de variación del parámetro es infini­to. La expre­sión de un cír­cu­lo está dada por el sigu­iente sis­tema de ecuaciones.

x=a+r.cos(t)

y=b+r.sin(t)

(3)   \begin{equation*}  t \in [0,2π ]  \end{equation*}


Hacien­do vari­ar el parámetro t entre 0 y 2π obten­emos todos los pun­tos de la circunferencia. 

Como men­cionamos antes el parámetro t puede tomar val­ores de menos infini­to a más infini­to y siem­pre va a devolver algún pun­to de la cir­cun­fer­en­cia, debido a que los senos y cosenos son fun­ciones periódicas.

🟢 Cómo detec­tar obje­tos cer­canos a otro objeto

En este vídeo uti­li­zo la ecuación paramétri­ca de la cir­cun­fer­en­cia para dibu­jar un cír­cu­lo alrede­dor de un obje­to, en los primeros min­u­tos del vídeo se puede ver el códi­go para deter­mi­nar el i‑ésimo pun­to de un cír­cu­lo de radio "dis­tance" y "cir­cle­Sub­di­vi­sions" sub­di­vi­siones, esta es la instrucción:

Vector3 cir­cle­Point = new Vector3(distanceMathf.Cos(2Mathf.PIi/circleSubdivisions)+ targetObject.position.x, 0f, dis­tanceMathf.Sin(2 * Mathf.PI * i / cir­cle­Sub­di­vi­sions) + targetObject.position.z);

Circunferencia y funciones matemáticas

Hay que ten­er en cuen­ta que no existe una fun­ción matemáti­ca que defi­na el cír­cu­lo ya que por su defini­ción, una fun­ción es una expre­sión en la que se cumple que, para cada val­or de la vari­able inde­pen­di­ente, existe un úni­co val­or para la vari­able depen­di­ente. Por lo tan­to la cir­cun­fer­en­cia no es una fun­ción.

En otras pal­abras, para que un grá­fi­co pue­da cor­re­spon­der a una fun­ción matemáti­ca debe­mos poder trazar una línea ver­ti­cal en cualquier parte del grá­fi­co y ésta línea debería cor­ta a la fun­ción en un úni­co pun­to. Esto no ocurre en el cír­cu­lo, ya que si tomamos por ejem­p­lo un cír­cu­lo de radio R cen­tra­do en el ori­gen (0,0), la rec­ta coin­ci­dente con el eje Y cor­ta al cír­cu­lo en dos puntos.

Algo que sí sería váli­do es descom­pon­er el grá­fi­co de la cir­cun­fer­en­cia en dos partes, un semi­cír­cu­lo supe­ri­or y uno infe­ri­or y encon­trar las expre­siones matemáti­cas cuyos grá­fi­cos se cor­re­spon­den con esos semi cír­cu­los. Esto lo que podemos hac­er despe­jan­do la vari­able y en la ecuación 1 de mas arriba.

(4)   \begin{equation*}   |(y - b)|= \sqrt{ R^2 - (x-a)^2 }\end{equation*}

El val­or abso­lu­to surge porque tomamos la raíz cuadra­da de una expre­sión que está ele­va­da al cuadra­do, esto da lugar a dos val­ores posi­bles para esa expre­sión, uno pos­i­ti­vo y otro neg­a­ti­vo, que son los que definen el semi cír­cu­lo infe­ri­or y supe­ri­or de la circunferencia.

Semicírculo superior

La expre­sión de la fun­ción que rep­re­sen­ta el semi cír­cu­lo supe­ri­or de una cir­cun­fer­en­cia genéri­ca es:

(5)   \begin{equation*}   y = \sqrt{ R^2 - (x-a)^2 } + b\end{equation*}

Semicírculo inferior

La expre­sión de la fun­ción que rep­re­sen­ta el semi cír­cu­lo infe­ri­or de una cir­cun­fer­en­cia genéri­ca es: 

(6)   \begin{equation*}   y = - \sqrt{ R^2 - (x-a)^2 } + b\end{equation*}

Perímetro de una circunferencia

El perímetro de un cír­cu­lo es la lon­gi­tud de su fron­tera, imag­inemos que hace­mos una mar­ca en un pun­to del cír­cu­lo, colo­camos ese pun­to en el 0 de una rec­ta y lo hace­mos girar hacia ade­lante, el pun­to donde la mar­ca vuelve a tocar la rec­ta es el val­or del perímetro de la cir­cun­fer­en­cia. Matemáti­ca­mente se puede cal­cu­lar como:

(7)   \begin{equation*}   per = 2 . \pi . r\end{equation*}

Pi tiene un val­or aprox­i­ma­do de 3.1415 y r es el radio de la circunferencia.

Área de una circunferencia

El área de un cír­cu­lo es el resul­ta­do de la mul­ti­pli­cación del número π por el radio de la cir­cun­fer­en­cia al cuadra­do. Matemáti­ca­mente:

(8)   \begin{equation*}   área = \pi . r^2\end{equation*}

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