¿Qué es una matriz en Matemática? — Definición y Ejemplos

Introducción

En este artícu­lo vamos a ver qué es una matriz en matemáti­ca, cómo se define, qué tipos de matri­ces hay y vamos a ver ejem­p­los de matrices.

Una matriz es un arreg­lo de números orde­na­do, que con­siste en una serie de filas y colum­nas, de modo que cada ele­men­to ocu­pa una posi­ción y puede ser iden­ti­fi­ca­do por su número de fila y de columna.

Dadas dos matri­ces podremos realizar cier­tas opera­ciones entre ellas siem­pre que cum­plan deter­mi­nadas condiciones.

Una de las apli­ca­ciones mas útiles de las matri­ces es la res­olu­ción de sis­temas de ecua­ciones. Por ejem­p­lo, si ten­emos un sis­tema de dos ecua­ciones con dos incóg­ni­tas, podemos rep­re­sen­tar este sis­tema con una matriz cuadra­da de 2x2 (llamé­mosla A), mul­ti­pli­ca­da por un vec­tor colum­na de incóg­ni­tas (vec­tor x) y ese pro­duc­to igualar­lo al vec­tor colum­na de tér­mi­nos inde­pen­di­entes (dig­amos B). Este sis­tema se rep­re­sen­taría de la sigu­iente manera:

A.x = B

Lo cual recuer­da mucho a una ecuación lin­eal sim­ple en la que ten­emos una incóg­ni­ta (x) que está mul­ti­pli­ca­da por un coe­fi­ciente (A) y esto es igual a un val­or (B), para resolver esa ecuación lin­eal bas­ta con dividir a ambos miem­bros por el coe­fi­ciente A y de esta for­ma despe­jaríamos la incóg­ni­ta x. No se puede hac­er divi­siones con matri­ces pero se puede recur­rir a una operación análo­ga que es mul­ti­plicar ambos miem­bros por la matriz inver­sa de A (siem­pre que exista la matriz inver­sa de A), con esto se despe­ja el vec­tor incógnita.

x = A-1.B

Definición de una Matriz en Matemática

Una matriz la rep­re­sen­ta­mos con una letra del alfa­beto en mayús­cu­la (por ejem­p­lo A, B, C…), luego podemos explic­i­tar sus ele­men­tos, para ello vamos a escribir sus números en una tabla que con­tendrá una deter­mi­na­da can­ti­dad de filas y columnas.

En la figu­ra 1 vemos un ejem­p­lo de una matriz genéri­ca A de m filas y n colum­nas, vemos que en la derecha de la igual­dad se ha explic­i­ta­do la matriz escri­bi­en­do sus ele­men­tos aij.

una matriz A genérica de m filas y n columnas en la que se explicitan sus elementos aij
Fig. 1: Matriz A genéri­ca de m filas y n colum­nas, a la derecha se mues­tran sus ele­men­tos aij.

La matriz de la figu­ra 1 hace ref­er­en­cia a una matriz cualquiera, se suele uti­lizar para las defini­ciones y propiedades de las matrices.

Ejemplos de matrices con valores

Vamos a ver ejem­p­los de matri­ces que tienen car­ac­terís­ti­cas par­tic­u­lares ya sea por su tamaño o por la for­ma en la que están dis­tru­ibui­dos sus elementos.

Matriz Cuadrada

Una matriz cuadra­da es una matriz en la que el número de filas coin­cide con el número de colum­nas. En la figu­ra 2 vemos un ejem­p­lo de una matriz B de 3 filas y 3 columnas.

matriz B de 3 filas y 3 columnas en la que se explicitan sus elementos bij
Fig. 2: Ejem­p­lo de una matriz B de 3 filas y 3 colum­nas, a la derecha se mues­tran sus ele­men­tos bij.

En una matriz cuadra­da ten­emos una diag­o­nal prin­ci­pal que son los ele­men­tos bij para los cuales i=j, en el caso de la figu­ra 2 son los ele­men­tos b11, b22 y b33 cuyos val­ores son 1, 0 y 2 respectivamente.

La diag­o­nal prin­ci­pal divide a la matriz en dos partes, un trián­gu­lo supe­ri­or y un trián­gu­lo inferior.

Matriz Diagonal

Una matriz diag­o­nal es una matriz en la que todos sus ele­men­tos no nulos están ubi­ca­dos en la diag­o­nal prin­ci­pal y el resto de los ele­men­tos son 0. En las fig­uras 3 y 4 vemos ejem­p­los de matri­ces diag­o­nal, en par­tic­u­lar la matriz de la figu­ra 4 se la conoce como matriz iden­ti­dad.

ejemplo de una matriz diagonal de 3x3, todos sus elementos no nulos están en la diagonal principal
Fig. 3: Ejem­p­lo de una matriz A diag­o­nal de 3x3.
identidad de 3x3, todos sus elementos no nulos están en la diagonal principal y valen 1
Fig. 4: Matriz iden­ti­dad de 3x3.

Matriz Triangular

Una matriz tri­an­gu­lar es una matriz que tiene todos sus ele­men­tos no nulos de un lado de la diag­o­nal prin­ci­pal y el resto de los ele­men­tos son 0. Podemos ten­er matri­ces tri­an­gu­lar supe­ri­or y matri­ces tri­an­gu­lar infe­ri­or, como se obser­va en las fig­uras 5 y 6 respectivamente.

ejemplo de una matriz triangular superior de 3x3, todos sus elementos no nulos están en la diagonal principal y por encima
Fig. 5: Ejem­p­lo de una matriz A de 3x3 tri­an­gu­lar superior.
ejemplo de una matriz triangular inferior de 3x3, todos sus elementos no nulos están en la diagonal principal y por debajo
Fig. 6: Ejem­p­lo de una matriz A de 3x3 tri­an­gu­lar inferior.

Conclusión

Una matriz en matemáti­ca es una arreg­lo de números orde­na­dos en una can­ti­dad fija de filas y columnas.

Las matri­ces cuadradas son las matri­ces en las que el número de fila coin­cide con el número de colum­nas. En una matriz cuadra­da ten­emos una diag­o­nal prin­ci­pal que es el ele­men­to en el cual el número de fila coin­cide con el número de columna.

Una matriz diag­o­nal es una matriz cuadra­da en la que todos sus ele­men­tos no nulos se encuen­tran en la diag­o­nal prin­ci­pal. Par­tic­u­lar­mente la matriz iden­ti­dad es una matriz diag­o­nal en la que todos los ele­men­tos valen 1.

Las matri­ces tri­an­gu­lares son aque­l­las en la que todos los ele­men­tos no nulos se encuen­tran en la diag­o­nal prin­ci­pal y por enci­ma o por deba­jo, de aquí las podemos clasi­ficar en matriz tri­an­gu­lar supe­ri­or o inferior.

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