Vectores — Concepto y ejemplos

Introducción

Un vec­tor es una her­ramien­ta matemáti­ca que nos per­mite rep­re­sen­tar mag­ni­tudes en las que no sólo impor­ta la inten­si­dad (o módu­lo), sino tam­bién la direc­ción y el sen­ti­do en la que están apli­cadas. Los vec­tores son muy útiles en el desar­rol­lo de jue­gos, ya que nos per­miten definir direc­ciones para el movimien­to, hac­er traza­do de rayos, entre otras aplicaciones.

El ejem­p­lo más sim­ple y quizás más cotid­i­ano que se me ocurre es el de una fuerza. Las fuerzas son mag­ni­tudes vec­to­ri­ales, no sólo impor­ta la inten­si­dad de la fuerza que se apli­ca, sino tam­bién la direc­ción y el sentido. 

Si por ejem­p­lo cam­bi­amos el sen­ti­do de la fuerza que le apli­camos a un obje­to, el obje­to se moverá en la direc­ción con­traria o dis­minuirá su velocidad.

Otros ejem­p­los de mag­ni­tudes vec­to­ri­ales pueden ser el torque, el momen­to angu­lar, la veloci­dad. En elec­t­ri­ci­dad y magen­itsmo ten­emos el cam­po eléc­tri­co en un pun­to, el vec­tor de Poynt­ing.

Un vídeo sobre VECTORES en programación

Intro­duc­ción a los VECTORES en lengua­je C#


Vectores en el plano y en el espacio

Por cues­tiones prác­ti­cas vamos a ver el caso de vec­tores en el plano y en el espa­cio, es decir vec­tores de dos y tres com­po­nentes respectivamente.

Matemáticamente

Usual­mente un vec­tor se iden­ti­fi­ca usan­do una letra con una flecha en la parte superior. 

Hay dis­tin­tos tipos de nota­ciones, una de ellas es escribir las com­po­nentes del vec­tor entre parén­te­sis y sep­a­radas con coma. En el plano usamos dos com­po­nentes y en el espa­cio tres.

ejemplos de vectores en el plano y el espacio
Fig. 1: Ejem­p­los de vec­tores en el plano y en el espacio.

Representación gráfica de vectores

El val­or del vec­tor rep­re­sen­ta el pun­to final de una flecha que parte des­de el ori­gen de coor­de­nadas (es decir (0,0) en el plano y (0,0,0) en el espa­cio), has­ta la coor­de­na­da que indi­ca el vec­tor. Como se ilus­tra en la figu­ra 2.

Hace un tiem­po escribí un artícu­lo sobre sis­tema carte­siano, puedes leer­lo hacien­do clic aquí.

representacion grafica de un vector en matematica
Fig. 2: Rep­re­sentación grá­fi­ca de vec­tores en el plano y en el espacio.

Características de un vector

Componentes de un vector

Las com­po­nentes son los val­ores reales para cada eje del sis­tema de coordenadas. 

En el plano un vec­tor tiene dos com­po­nentes, gen­eral­mente x e y, en el espa­cio nece­si­ta­mos tres com­po­nentes, en gen­er­al se lla­man x, y y z.

Módulo o Norma de un vector

El módu­lo o nor­ma de un vec­tor nos habla del tamaño del vec­tor, la mag­ni­tud o inten­si­dad que tiene, en otras pal­abras es cuán­to mide el vec­tor des­de el ori­gen has­ta el pun­to final.

Para cal­cu­lar el módu­lo se uti­liza el teo­re­ma de Pitago­ras sobre los trián­gu­los rec­tán­gu­los que for­ma el vec­tor con los ejes coor­de­na­dos. Esto sue­na algo com­pli­ca­do pero las fór­mu­las son sim­ples, en la figu­ra 3 vemos el cál­cu­lo de la nor­ma de un vec­tor en el plano y en el espa­cio. Fór­mu­la con ejemplos.

calculo de las normas de un vector en matematica
Fig. 3: Cál­cu­lo de módu­lo o nor­ma de un vec­tor en el plano y en el espacio.

Dirección de un vector

Esto habla de la ori­entación del vec­tor en el plano o en el espa­cio. Esto nos per­mite cal­cu­lar ángu­los respec­to a los ejes coor­de­na­dos uti­lizan­do trián­gu­los rec­tán­gu­los y senos y cosenos.

Dado un vec­tor podemos encon­trar una úni­ca rec­ta que lo contiene.

Acá empezamos a ver la util­i­dad de saber sobre vec­tores para pro­gra­mar video­jue­gos, con los vec­tores podemos rep­re­sen­tar movimien­tos en una deter­mi­na direc­ción o cal­cu­lar la trayec­to­ria de un proyec­til por ejemplo.

Sentido de un vector

Dada una direc­ción para el vec­tor, diji­mos que existe una úni­ca rec­ta que lo con­tiene, sin embar­go el vec­tor podría estar apun­tan­do hacia un lado o hacia el otro de la rec­ta. Con el sen­ti­do solu­cionamos esta ambigüedad.

Para cam­biar el sen­ti­do de un vec­tor bas­ta con mul­ti­plicar por ‑1 todas sus componentes.

Vector en matemática vs Vector en programación

En pro­gra­mación tam­bién existe un tipo de datos que se conoce como vec­tores, arreg­los o arrays. Sin embar­go esto hace ref­er­en­cia a una estruc­tura de pro­gra­mación en la que podemos ordenar datos del mis­mo tipo y uti­lizar­los para resolver algoritmos.

Podemos mod­e­lar vec­tores matemáti­cos uti­lizan­do arrays, sin embar­go los arrays pueden con­tener cade­nas de tex­to por ejemplo.

Vectores matemáticos en Unity

En Uni­ty hay var­ios com­po­nentes que uti­lizan vec­tores, el más sim­ple de todos es el com­po­nente Trans­form que deter­mi­na la posi­ción, rotación y escala de un GameOb­ject en Unity.

Para esto uti­liza tres vec­tores de tres dimen­siones. En la figu­ra 4 podemos visu­alizar estos vec­tores en el inspec­tor. Uni­ty le da a las com­po­nentes del vec­tor el nom­bre x, y y z.

ejemplos de vectores matematicos que estan aplicados en unity
Fig. 4: Com­po­nente Trans­form que tiene todo GameOb­ject en Unity.

Otros com­po­nentes como los Col­lid­ers uti­lizan vec­tores para el dibu­ja­do del Col­lid­er, definir su posi­ción y su tamaño. En la figu­ra 5 vemos un ejem­p­lo de Col­lid­er en tres dimen­siones en los que se usan vec­tores de tres com­po­nentes y en la figu­ra 6 un ejem­p­lo de Col­lid­er 2D en el que se uti­lizan vec­tores de dos componentes.

Fig. 5: Vec­tores de 3 com­po­nentes en para las dien­siones de un Collider.

Fig. 6: Vec­tores de 2 com­po­nentes para las dimen­siones de un Col­lid­er 2D.

Además de las com­po­nentes con las que cuen­ta Uni­ty, en nue­stros Script podemos crear vec­tores para uti­lizar en nue­stros algoritmos. 

El nom­bre del obje­to con el que nos refe­r­i­mos a estos vec­tores en un Script C# para Uni­ty es Vector2 y Vector3. Podemos obser­var algunos ejem­p­los en la figu­ra 7.

ejemplos de implementacion de vector matematico en script c# unity
Fig. 7: Ejem­p­los de uti­lización de vec­tores matemáti­cos en Scripts C#, en Unity.

Conclusión

Los vec­tores en matemáti­ca son una her­ramien­ta útil para rep­re­sen­tar trayec­to­rias, fuerzas

Un vec­tor tiene un módu­lo que deter­mi­na su tamaño, una direc­ción que deter­mi­na su ori­entación en el espa­cio y un sen­ti­do den­tro de esa dirección.

Dado un vec­tor podemos encon­trar una úni­ca rec­ta que lo contiene.

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