El mínimo común múltiplo

Introducción

En este artículo vamos a ver qué es el mínimo común múltiplo y como encontrarlo. El mínimo común múltiplo es algo que surge de comparar dos números, por lo tanto una consigna como la siguiente no tendría sentido: «Encontrar el mínimo común múltiplo de 24«. En cambio una consigna como la siguiente si puede resolverse: «Encontrar el mínimo común múltiplo de 12 y 18«, una consigna como esta puede expresarse como «m.c.m(12,18)«.

Qué es el mínimo común múltiplo de dos números

Un múltiplo común de dos números «A» y «B» es simplemente un número «C» que es múltiplo de esos números A y B, es decir que se puede tomar a C y dividirlo por A y por B y en ambos casos el resultado va a ser entero, por ejemplo 12 es un múltiplo en común que tienen los números 2 y 3, ya que 12 es igual a 2 multiplicado por 6 y también 12 es igual a 3 multiplicado por 4. Sin embargo con la misma lógica vemos que 24 también es un múltiplo común de 2 y 3, ya que 2 multiplicado por 12 es 24 y 3 multiplicado por 8 también es 24.

Aquí es donde se incluye el la palabra «mínimo» en la expresión «mínimo común múltiplo«, quiere decir que de todos los múltiplos que tienen en común dos números nos quedaremos con el que sea más pequeño, por ejemplo el mínimo común múltiplo entre 2 y 3 no es 12 ni 24, sino 6.

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Cómo encontrar fácilmente un múltiplo común de dos números

Si se quiere conocer un múltiplo común de dos números enteros «A» y «B«, en general el múltiplo común más fácil de encontrar va a ser un número entero «C» tal que:

C = A . B

Al multiplicar ambos números por definición vamos a obtener un múltiplo común a ambos, ya que si se toma el número C y se lo divide por A se obtiene B, y si se toma el número C y se lo divide por B se obtiene A, ambos números enteros.

Esta operación suele ser muy práctica para la suma de fracciones en las que se necesita encontrar un denominador común a los denomidores de las fracciones que se quieren sumar.

A veces este múltiplo común será el mínimo común múltiplo a ambos números, como en el ejemplo anterior en el que m.c.n(2,3) = 6, pero no siempre es así como veremos en el siguiente ejemplo.

Cómo encontrar el mínimo común múltiplo de dos números

Para encontrar el mínimo común múltiplo de dos números hay un procedimiento que consiste en tomar cada número y expresarlo como una multiplicación de sus divisores primos, es decir números primos que al dividir por ellos al número inicial el resultado es entero, esto se explica en detalle en el artículo de divisibilidad, por ejemplo los números 12 y 18 pueden expresarse de la siguiente manera:

12 = 1 . 2 . 2 . 3

18 = 1 . 2 . 3 . 3

Tomando estas descomposiciones, para encontrar el mínimo común múltiplo se construye un nuevo número que será el resultado de la multiplicación de los números primos que más veces aparezca en ambas descomposiciones.

El número 1 aparece una única vez en cada descomposición, por lo que se coloca un 1. Luego el número 2 aparece dos veces repetido en la descomposición del 12 por lo que al 1 lo multiplicamos dos veces por 2, finalmente el número 3 aparece dos veces repetidos en la descomposición del número 18, por lo que a la expresión anterior la multiplicamos dos veces por el número 3, resultado en lo siguiente:

1 . 2 . 2 . 3 . 3 = 36

El resultado de esta operación es el mínimo común múltiplo de 12 y 18, es decir:

m.c.m(12,18) = 36

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