Función Lineal. Características, gráfica y ejemplos de utilización en Unity

Introducción

La función lineal es una de las funciones más útiles de la matemática, en este artículo vamos a ver qué es, cuál es su expresión matemática, sus características, cómo hacer su gráfica en el plano cartesiano. Al final vamos a ver algunos ejemplos de aplicación en el desarrollo con Unity.

Expresión matemática de una función lineal

Una función lineal es una función polinómica cuya expresión es:

f (X) = a . X + b

Se lee comunmente “f de x”, siendo X la variable independiente, a y b números reales constantes.

Analizando la expresión vemos que dado cualquier valor de X, primero lo multiplicamos por a y luego sumamos b. El resultado de toda esa operación será el valor de f (X).

Características de una función lineal

Para estudiar en profundidad las características de la función lineal vamos a analizar su dominio, gráfica en el plano cartesiano, valores característicos y distintos tipos de rectas.

Dominio

El dominio es el intervalo de valores que puede tomar la variable independiente, normalmente denominada X.

En el caso de la función lineal el dominio es el conjunto de los números reales, es decir que la variable X puede tomar valores desde menos infinito a más infinito.

Entonces, dado un valor de X perteneciente al conjunto de los números reales, encontraremos su valor f (X) correspondiente multiplicando a X por la pendiente y sumando la ordenada al origen.

Artículo: Conjuntos numéricos



Gráfica en el plano cartesiano de una función lineal

La gráfica de f (X) en el plano cartesiano es una línea recta. Podemos trazarla fácilmente encontrando dos puntos de la función y luego, utilizando una regla, trazar la línea que une ambos puntos.

Uno de estos puntos lo podemos encontrar fácilmente considerando X = 0, en ese punto la función vale lo que su ordenada al origen (el coeficiente b en la expresión genérica).

El segundo punto lo podemos encontrar eligiendo un valor distinto para X y realizando los cálculos, por ejemplo para la función de la figura 1, si consideramos X = 2, al reemplazar ese valor en la función obtenemos el resultado f (X) = 2.

ejemplo del grafico en el sistema cartesiano de una funcion lineal, pendiente un medio, ordenada al origen igual a 1
Fig. 1: Ejemplo de la gráfica de una función lineal en el plano cartesiano.

Artículo: Sistema Cartesiano

Ordenada al origen

Este punto característico de la función lineal es el valor de la función cuando X = 0. De manera gráfica, es el punto donde la función lineal corta el eje vertical (conocido como eje de ordenadas). El punto (0,b) se lo conoce como ordenada al origen.

En la gráfica de la figura 1 vemos que la ordenada al origen es el punto (0,1).

Abscisa al origen

Análogamente al caso anterior, la abscisa al origen es el punto en el cual la función corta el eje horizontal o eje de abscisas. En este punto Y = 0.

Una función lineal podría no tener abscisa al origen si se trata de una recta paralela al eje x y con desplazamiento vertical.

La abscisa al origen puede encontrarse haciendo 0 = f (X) y luego reemplazando f (X) por la expresión lineal, por ejemplo en el caso de la figura 1 tenemos:

0 = (1/2) . X + 1.

Despejando X de la ecuación anterior obtenemos el valor de X en el cual f (X) es igual a 0. En la función lineal de la figura 1 la abscisa al origen es el punto (-2,0).

Pendiente de una función lineal

El coeficiente que multiplica a X en la expresión genérica de la función lineal se lo conoce como “pendiente” y es el que establece si la función es creciente o decreciente y en qué magnitud.

Si la pendiente es positiva la función es creciente y si la pendiente es negativa la función es decreciente. Si la pendiente vale 0, el término que contiene X se anula y sólo nos queda f (X) = b, la función lineal vale lo que su ordenada al origen en todo el dominio, en este caso tenemos una recta horizontal (paralela al eje X).

Si sólo disponemos de la gráfica de una función lineal, podemos calcular la pendiente como la tangente del ángulo que forma la recta con el eje horizontal. También podemos encontrar la pendiente utilizando el Teorema de Pitagoras.

Rectas paralelas

Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales.

Ejemplo de dos rectas paralelas:

f (X) = 2 . X – 1

g (X) = 2 . X + 3

Rectas perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares si la pendiente de una de ellas es igual a la pendiente invertida y opuesta de la otra. En el siguiente ejemplo vemos dos rectas que son perpendiculares.

f (X) = 3 . X + 2

g (X) = – ( 1/3 ) . X + 5

La pendiente de g es menos un tercio, el cual es el inverso y opuesto de 3.

Algunos ejemplos en Unity de función lineal

La función lineal es una de las funciones matemáticas más útiles y su campo de aplicación es muy variado. Vamos a dar algunos ejemplos de posibles aplicaciones.

Representar trayectorias

Lo más básico que se me ocurre hacer es que los objetos se muevan en una trayectoria recta, la cual puede ser descrita como una función lineal.

Por ejemplo en la figura 2 vemos una escena en Unity en la que las esferas van describiendo una trayectoria que se describe como su posición en x es igual a su posición en y.

Fig. 2: Las esferas van avanzando en la dirección positiva del eje X, su altura Y se determina por el cálculo de la función y = x.

El mismo concepto y con distintas combinaciones de planos se puede aplicar para otros casos como movimientos de vehículos, trayectoria de proyectiles, etc.

En el último video de la serie fundamental de Unity utilizo una función lineal para el movimiento de la cámara, la cual avanza dentro del túnel.

Relacionar parámetros de manera lineal

Supongamos que tenemos dos parámetros cualesquiera, por ejemplo la posición del jugador en el eje X y la rotación de algún mecanismo respecto de alguno de sus ejes.

Digamos también que nos gustaría que estos parámetros estén conectados de alguna forma, es decir que la rotación que tenga el mecanismo va a depender de la posición del jugador.

Podemos establecer entonces una relación lineal entre estos dos parámetros, por ejemplo podríamos decir que la rotación del mecanismo respecto de su eje z sea igual a la mitad del valor de la posición del jugador en el eje x más cinco unidades.

Con esto logramos relacionar esos dos parámetros a través de una función lineal.

Implementar magnitudes lineales en nuestro juego

En la física existen muchas magnitudes lineales que podríamos estar interesados en implementar en nuestro juego. Un ejemplo de esto puede ser el movimiento rectilineo uniforme, en el cual tenemos una dirección del movimiento establecida y la posición estará definida por una función lineal en la que la pendiente de la recta es la velocidad del objeto y la ordenada al origen es la posición inicial.

En el caso de la Ley de Ohm por ejemplo, si tenemos un circuito con una fuente conectada a una resistencia, la corriente que circula es igual al voltaje de la fuente dividido la resistencia, esto no es otra cosa que una función lineal con la forma i = v / R.

La energía potencial gravitatoria de un objeto es una función lineal de su altura respecto al suelo.

Hay varios fenómenos físicos que se caracterizan por tener un comportamiento lineal y que podríamos estar interesados en implementar.

Conclusión

La función lineal es una de las funciones más básicas pero también de las más útiles.

La gráfica en el plano cartesiano se corresponde con una recta en la que podemos identificar una pendiente y una ordenada al origen, punto en el que la recta corta al eje vertical o de abscisas.

Podemos utilizarla para establecer relaciones lineales entre distintos parámetros de nuestro juego y representar fenómenos físicos de caracter lineal.

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