Función Lineal. Características, gráfica y ejemplos de utilización en Unity

Introducción

La fun­ción lin­eal es una de las fun­ciones más útiles de la matemáti­ca, en este artícu­lo vamos a ver qué es exac­ta­mente una fun­ción lin­eal, cuál es su expre­sión matemáti­ca, sus car­ac­terís­ti­cas, cómo hac­er su grá­fi­ca en el plano carte­siano. Al final vamos a ver algunos ejem­p­los de apli­cación en el desar­rol­lo con Unity.

Expresión matemática de una función lineal

Una fun­ción lin­eal es una fun­ción polinómi­ca cuya expre­sión es:

f (X) = a . X + b

Se lee comun­mente "f de x", sien­do X la vari­able inde­pen­di­ente, a y b números reales constantes.

Anal­izan­do la expre­sión vemos que dado cualquier val­or de X, primero lo mul­ti­pli­camos por a y luego sumamos b. El resul­ta­do de toda esa operación será el val­or de f (X).

Características de una función lineal 

Para estu­di­ar en pro­fun­di­dad las car­ac­terís­ti­cas de la fun­ción lin­eal vamos a analizar su dominio, grá­fi­ca en el plano carte­siano, val­ores car­ac­terís­ti­cos y dis­tin­tos tipos de rec­tas.

Dominio

El dominio es el inter­va­lo de val­ores que puede tomar la vari­able inde­pen­di­ente, nor­mal­mente denom­i­na­da X.

En el caso de la fun­ción lin­eal el dominio es el con­jun­to de los números reales, es decir que la vari­able X puede tomar val­ores des­de menos infini­to a más infinito.

Entonces, dado un val­or de X perteneciente al con­jun­to de los números reales, encon­traremos su val­or f (X) cor­re­spon­di­ente mul­ti­pli­can­do a X por la pen­di­ente y suman­do la orde­na­da al origen.

Artícu­lo: Con­jun­tos numéricos

Gráfica en el plano cartesiano de una función lineal

La grá­fi­ca de f (X) en el plano carte­siano es una línea rec­ta. Podemos trazarla fácil­mente encon­tran­do dos pun­tos de la fun­ción y luego, uti­lizan­do una regla, trazar la línea que une ambos pun­tos. Tam­bién puedes armar una TABLA de VALORES para grafi­car­la.

Uno de estos pun­tos lo podemos encon­trar fácil­mente con­sideran­do X = 0, en ese pun­to la fun­ción vale lo que su orde­na­da al ori­gen (el coe­fi­ciente b en la expre­sión genérica).

El segun­do pun­to lo podemos encon­trar eligien­do un val­or dis­tin­to para X y real­izan­do los cál­cu­los, por ejem­p­lo para la fun­ción de la figu­ra 1, si con­sid­er­amos X = 2, al reem­plazar ese val­or en la fun­ción obten­emos el resul­ta­do f (X) = 2.

ejemplo del grafico en el sistema cartesiano de una funcion lineal, pendiente un medio, ordenada al origen igual a 1
Fig. 1: Ejem­p­lo de la grá­fi­ca de una fun­ción lin­eal en el plano cartesiano.

Artícu­lo: Sis­tema Cartesiano

Ordenada al origen

Este pun­to car­ac­terís­ti­co de la fun­ción lin­eal es el val­or de la fun­ción cuan­do X = 0. De man­era grá­fi­ca, es el pun­to donde la fun­ción lin­eal cor­ta el eje ver­ti­cal (cono­ci­do como eje de orde­nadas). El pun­to (0,b) se lo conoce como orde­na­da al ori­gen.

En la grá­fi­ca de la figu­ra 1 vemos que la orde­na­da al ori­gen es el pun­to (0,1).

Abscisa al origen

Análoga­mente al caso ante­ri­or, la abscisa al ori­gen es el pun­to en el cual la fun­ción cor­ta el eje hor­i­zon­tal o eje de abscisas. En este pun­to Y = 0.

Una fun­ción lin­eal podría no ten­er abscisa al ori­gen si se tra­ta de una rec­ta para­lela al eje x y con desplaza­mien­to vertical.

La abscisa al ori­gen puede encon­trarse hacien­do 0 = f (X) y luego reem­plazan­do f (X) por la expre­sión lin­eal, por ejem­p­lo en el caso de la figu­ra 1 tenemos:

0 = (1/2) . X + 1. 

Despe­jan­do X de la ecuación ante­ri­or obten­emos el val­or de X en el cual f (X) es igual a 0. En la fun­ción lin­eal de la figu­ra 1 la abscisa al ori­gen es el pun­to (-2,0).

Pendiente de una función lineal

El coe­fi­ciente que mul­ti­pli­ca a X en la expre­sión genéri­ca de la fun­ción lin­eal se lo conoce como "pen­di­ente" y es el que establece si la fun­ción es cre­ciente o decre­ciente y en qué magnitud. 

Si la pen­di­ente es pos­i­ti­va la fun­ción es cre­ciente y si la pen­di­ente es neg­a­ti­va la fun­ción es decre­ciente. Si la pen­di­ente vale 0, el tér­mi­no que con­tiene X se anu­la y sólo nos que­da f (X) = b, la fun­ción lin­eal vale lo que su orde­na­da al ori­gen en todo el dominio, en este caso ten­emos una rec­ta hor­i­zon­tal (para­lela al eje X).

Si sólo disponemos de la grá­fi­ca de una fun­ción lin­eal, podemos cal­cu­lar la pen­di­ente como la tan­gente del ángu­lo que for­ma la rec­ta con el eje hor­i­zon­tal. Tam­bién podemos encon­trar la pen­di­ente uti­lizan­do el Teo­re­ma de Pitagoras.

Rectas paralelas

Dos rec­tas son para­le­las si sus pen­di­entes son iguales.

Ejem­p­lo de dos rec­tas paralelas: 

f (X) = 2 . X — 1 

g (X) = 2 . X + 3 

Rectas perpendiculares

Dos rec­tas son per­pen­dic­u­lares si la pen­di­ente de una de ellas es igual a la pen­di­ente inver­ti­da y opues­ta de la otra. En el sigu­iente ejem­p­lo vemos dos rec­tas que son perpendiculares.

f (X) = 3 . X + 2 

g (X) = — ( 1/3 ) . X + 5 

La pen­di­ente de g es menos un ter­cio, el cual es el inver­so y opuesto de 3.

Algunos ejemplos de aplicación de la función lineal en programación

La fun­ción lin­eal es una de las fun­ciones matemáti­cas más útiles y su cam­po de apli­cación es muy vari­a­do. Vamos a dar algunos ejem­p­los de posi­bles aplicaciones.

Representar trayectorias

Una de las cosas más bási­cas que se puede hac­er con una fun­ción lin­eal es hac­er que los obje­tos se mue­van en una trayec­to­ria rec­ta, la fun­ción lin­eal nos rela­ciona dos mag­ni­tudes que podríamos ele­gir como quer­amos, por ejem­p­lo la vari­able inde­pen­di­ente podría ser una coor­de­na­da X en el espa­cio y la vari­able inde­pen­di­ente puede ser la coor­de­na­da Y en el espa­cio, luego con cier­to rit­mo de eje­cu­ción podemos hac­er que un obje­to descri­ba dicha trayectoria.

Por ejem­p­lo en la figu­ra 2 vemos una esce­na en Uni­ty en la que las esferas van sigu­ien­do una trayec­to­ria que se describe como su posi­ción en x es igual a su posi­ción en y.

Fig. 2: Las esferas van avan­zan­do en la direc­ción pos­i­ti­va del eje X, su altura Y se deter­mi­na por el cál­cu­lo de la fun­ción y = x.

El mis­mo con­cep­to y con dis­tin­tas com­bi­na­ciones de planos se puede aplicar para otros casos como movimien­tos de vehícu­los, trayec­to­ria de proyec­tiles, etc.

Relacionar parámetros de manera lineal

Supong­amos que ten­emos dos parámet­ros cua­lesquiera, por ejem­p­lo la posi­ción del jugador en el eje X y la rotación de algún mecan­is­mo respec­to de alguno de sus ejes.

Dig­amos tam­bién que nos gus­taría que estos parámet­ros estén conec­ta­dos de algu­na for­ma, es decir que la rotación que ten­ga el mecan­is­mo va a depen­der de la posi­ción del jugador. 

Podemos estable­cer entonces una relación lin­eal entre estos dos parámet­ros, por ejem­p­lo podríamos decir que la rotación del mecan­is­mo respec­to de su eje z sea igual a la mitad del val­or de la posi­ción del jugador en el eje x más cin­co unidades.

Con esto logramos rela­cionar esos dos parámet­ros a través de una fun­ción lineal.

Implementar magnitudes lineales en nuestra aplicación

En la físi­ca exis­ten muchas mag­ni­tudes lin­eales que podríamos estar intere­sa­dos en imple­men­tar en un pro­gra­ma. Un ejem­p­lo de esto puede ser el movimien­to rec­ti­li­neo uni­forme, en el cual ten­emos una direc­ción del movimien­to estable­ci­da y la posi­ción estará defini­da por una fun­ción lin­eal en la que la pen­di­ente de la rec­ta es la veloci­dad del obje­to y la orde­na­da al ori­gen es la posi­ción inicial.

En el caso de la Ley de Ohm por ejem­p­lo, si ten­emos un cir­cuito con una fuente conec­ta­da a una resisten­cia, la cor­ri­ente que cir­cu­la es igual al volta­je de la fuente divi­di­do la resisten­cia, esto no es otra cosa que una fun­ción lin­eal con la for­ma i = v / R.

La energía poten­cial grav­i­ta­to­ria de un obje­to es una fun­ción lin­eal de su altura respec­to al suelo.

Hay var­ios fenó­menos físi­cos que se car­ac­ter­i­zan por ten­er un com­por­tamien­to lin­eal y que podríamos estar intere­sa­dos en implementar.

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Conclusión

La fun­ción lin­eal es una de las fun­ciones más bási­cas pero tam­bién de las más útiles por su sim­pleza de cál­cu­los y su ver­sa­til­i­dad. Su grá­fi­ca en el plano carte­siano se cor­re­sponde con una rec­ta en la que podemos iden­ti­ficar una pen­di­ente y una orde­na­da al ori­gen, pun­to en el que la rec­ta cor­ta al eje ver­ti­cal o eje de orde­nadas.

Podemos uti­lizarla para estable­cer rela­ciones lin­eales entre dis­tin­tos parámet­ros de nue­stro juego y rep­re­sen­tar fenó­menos físi­cos de car­ac­ter lineal.

6 comentarios en “Función Lineal. Características, gráfica y ejemplos de utilización en Unity”

    1. Hola! si el ejer­ci­cio es graficar esa ecuación en el plano carte­siano puedes hac­er una tabla de val­ores para X, ingre­sar­los en la ecuación y cal­cu­lar los val­ores cor­re­spon­di­entes de Y, con dos pun­tos podrás trazar la grá­fi­ca de esa función.
      Al final de este artícu­lo hay un grafi­cador de fun­ción lin­eal, si quieres trazar la grá­fi­ca uti­liza a=-1 y b=5, espero que te sea útil.

    1. Las dos primeras son fun­ciones lin­eales, ya que sólo con­tienen X ele­va­do a la primera poten­cia (no aparece X al cuadra­do, al cubo, etc…). La ter­cera fun­ción no es lin­eal, ya que ten­emos un tér­mi­no con X ele­va­do a la ‑1 (1/X). Puedes com­pro­bar esto usan­do algu­na her­ramien­ta para graficar como Foo Plot, si ingre­sas las dos primeras fun­ciones el grá­fi­co será una línea rec­ta, mien­tras que el grá­fi­co de la ter­cera fun­ción no lo es.

  1. cómo podría expli­carse esta afirmación:
    "Una fun­ción lin­eal siem­pre tiene una recta,aunque la rec­i­p­ro­ca no es cierta" ????????

    1. Toda fun­ción lin­eal tiene la for­ma f(x)=a.x+b con a y b pertenecientes a los reales, el grá­fi­co de esa expre­sión se cor­re­sponde con una línea rec­ta con pen­di­ente a y orde­na­da al ori­gen b, por lo tan­to toda fun­ción lin­eal se rep­re­sen­ta como una rec­ta en el plano carte­siano. La recíp­ro­ca de esa afir­ma­ción sería: "toda rec­ta se cor­re­sponde a una fun­ción lin­eal", lo cual es fal­so y para demostrar­lo se puede usar un con­tra ejem­p­lo, cualquier rec­ta ver­ti­cal (para­lela al eje de las orde­nadas) es efec­ti­va­mente una rec­ta, pero no es una fun­ción lin­eal ya que uno de los req­ui­si­tos que deben cumplir las fun­ciones es que para cada val­or de X exista un úni­co val­or de Y. Otra man­era de ver­lo es que en la expre­sión f(x)=a.x+b no hay val­ores reales a y b tal que su grá­fi­ca sea una rec­ta ver­ti­cal, para ello la pen­di­ente a debería ten­der a infinito.

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