Función Cuadrática – Ejemplos de aplicación en Unity

Introducción

En este artícu­lo vamos a ver qué es una fun­ción cuadráti­ca, su expre­sión matemáti­ca, sus car­ac­terís­ti­cas, cómo grafi­car­la en el plano carte­siano y para qué nos puede ser útil en el desar­rol­lo de jue­gos con ejem­p­los en Unity.

VÍDEOS DEL CANAL CON MÁS BÚSQUEDAS

DE UNITY

DE BLENDER

Expresión matemática de una función cuadrática

La expre­sión polinómi­ca de una fun­ción cuadráti­ca es:

Se lee comun­mente "f de x", sien­do X la vari­able inde­pen­di­ente, a, b y c números reales constantes.

Características de una función cuadrática

Dominio

El dominio es el inter­va­lo de val­ores admis­i­bles para la vari­able inde­pen­di­ente, comun­mente denom­i­na­da X.

En el caso de la fun­ción cuadráti­ca el dominio es el con­jun­to de los números reales.

En otras pal­abras podemos ele­gir cualquier val­or de X perteneciente al con­jun­to de los números reales y encon­traremos su val­or f (X) correspondiente.

Haz clic aquí para leer el artícu­lo sobre con­jun­tos numéricos.

Gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática

La grá­fi­ca de f (X) en el plano carte­siano es una parábo­la. Puedes graficar una fun­ción cuadráti­ca a par­tir de una tabla de val­ores, aquí tienes un ejem­p­lo del pro­ced­imien­to.

Fig. 1: Grá­fi­ca de una fun­ción cuadráti­ca con el coe­fi­ciente a positivo.

Fig. 2: Grá­fi­ca de una fun­ción cuadráti­ca con el coe­fi­ciente a negativo. 

Si te intere­sa puedes leer un poco más sobre el sis­tema carte­siano en este artículo.

Raíces de la función

Las raíces de una fun­ción cuadráti­ca son los val­ores de x para los cuales f (x) vale 0, es decir los pun­tos en los que la fun­ción toca al eje de las abscisas (comun­mente el eje x).

Se pueden dar tres casos, la fun­ción tiene una raíz, es decir hay un úni­co val­or de x para el cuál la fun­ción vale 0.

La fun­ción puede ten­er dos raíces, es decir hay dos val­ores dis­tin­tos de x para los cuales la fun­ción vale 0.

La fun­ción puede no ten­er raíces en el con­jun­to de los números reales pero si en el de los números complejos.

Para cal­cu­lar las raíces de una fun­ción cuadráti­ca usamos una fór­mu­la que se conoce comun­mente como fór­mu­la de Bhaskara

Dada la sigu­iente ecuación:

Los dos val­ores de x que sat­is­facen esta ecuación están dados por:

El sig­no más menos ( ± ) quiere decir que son dos ecua­ciones, en una usamos el sig­no más y obten­emos X1 y en otra usamos el sig­no menos y obten­emos X2.

Como obser­vación, si lo que está den­tro de la raíz cuadra­da dá como resul­ta­do un número neg­a­ti­vo quiere decir que la ecuación no tiene solu­ción en el con­jun­to de los reales, en este caso grá­fi­ca­mente vemos que la parábo­la no cor­ta el eje de las abscisas.

Algunos ejemplos en Unity de función cuadrática

Dibujar trayectorias parabólicas

Podríamos estar intere­sa­dos en dibu­jar a través de códi­go trayec­to­rias con for­ma de parábo­las, por ejem­p­lo para sis­temas de partícu­las, o para rep­re­sen­tar el posi­ble trayec­to que un proyec­til pue­da seguir al lanzarlo.

En el sigu­iente video mue­stro cómo un con­jun­to de GameOb­jects siguen una trayec­to­ria parabóli­ca descri­ta por dos fun­ciones cuadráti­cas a las que se pueden ajus­tar los parámetros.

Video 1: Las esferas siguen la trayec­to­ria parabóli­ca descri­ta por las fun­ciones cuadráti­cas en rojo y verde.

Obser­vación 1: las esferas del mis­mo col­or siguen la trayec­to­ria defini­da por la mis­ma ecuación solo que para una tomo la con­stante a como pos­i­ti­va y en la otra como neg­a­ti­va, por esta razón se refle­jan respec­to a los ejes.

Obser­vación 2: Noten que al comien­zo y al final del video el val­or de a es 0, esto sig­nifi­ca que se anu­la el tér­mi­no cuadráti­co y nos quedamos con una fun­ción lineal.

Artícu­lo sobre fun­ción lineal

Implementar magnitudes cuadráticas

En la físi­ca exis­ten muchas mag­ni­tudes cuadráti­cas que podríamos estar intere­sa­dos en imple­men­tar en nue­stro juego.

Un ejem­p­lo de esto puede ser el movimien­to con acel­eración con­stante, es decir obje­tos que se mueven con veloci­dad que cam­bia de man­era lin­eal. Por ejem­p­lo cuer­pos en caí­da libre por acción de la gravedad o vehícu­los que aceleran.

Algunos tipos de energía como la energía cinéti­ca o la energía poten­cial elás­ti­ca son pro­por­cionales al cuadra­do de una magnitud.

Conclusión

La fun­ción cuadráti­ca es una fun­ción polinómi­ca de orden 2 cuya grá­fi­ca en el plano carte­siano es una parábola.

Las raíces de la fun­ción cuadráti­ca son los val­ores de x en los que se cumple que f (x) = 0. Podemos uti­lizar la fór­mu­la de Bhaskara para encontrarlas.

Una fun­ción cuadráti­ca puede ten­er dos raíces dis­tin­tas, una raiz o no ten­er raíces en el con­jun­to de los números reales. Si una fun­ción cuadráti­ca no tiene raíces reales, grá­fi­ca­mente no inter­sec­ta el eje de abscisas.

Hay mag­ni­tudes físi­cas así como tam­bién trayec­to­rias de cuer­pos acel­er­a­dos que pueden describirse por fun­ciones cuadráti­cas, por eso es útil ten­er conocimien­to sobre sus car­ac­terís­ti­cas y así poder imple­men­tar­las cor­rec­ta­mente en Unity.

1 comentario en “Función Cuadrática – Ejemplos de aplicación en Unity”

Los comentarios están cerrados.

Scroll al inicio
Secured By miniOrange