Funciones trigonométricas Seno y Coseno

Introducción

En este artícu­lo vamos a ver cómo son las fun­ciones seno y coseno, sus expre­siones matemáti­ca, su grá­fi­ca en el plano carte­siano y sus car­ac­terís­ti­cas principales.

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Expresión matemática de una función Seno y Coseno

La expre­sión matemáti­ca de la fun­ción seno es:

(1)   \begin{equation*}        \boxed{f(x)=a.sin(b.x-x0)+c} \end{equation*}


La expre­sión matemáti­ca de la fun­ción coseno es: 

(2)   \begin{equation*}        \boxed{f(x)=a.cos(b.x-x0)+c} \end{equation*}

Se lee comun­mente "f de x", sien­do X la vari­able inde­pen­di­ente, a, b, x0 y c números reales constantes.

Características de las funciones Seno y Coseno

Dominio

El dominio es el inter­va­lo de val­ores admis­i­bles para la vari­able inde­pen­di­ente, comun­mente denom­i­na­da X.

En el caso de las fun­ción seno y coseno el dominio es el con­jun­to de los números reales, es decir la vari­able inde­pen­di­ente puede tomar cualquier val­or des­de menos infini­to a más infinito.

Haz clic aquí para leer el artícu­lo sobre con­jun­tos numéricos.

Funciones trigonométricas en el plano cartesiano

La grá­fi­ca de f (X) en el plano carte­siano es una onda per­iódi­ca que se repite en todo el dominio. Puedes graficar las fun­ciones seno y coseno a par­tir de una tabla de val­ores, aquí tienes un ejem­p­lo de cómo armar una tabla de val­ores.

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Fig. 1: Grá­fi­ca de una fun­ción cuadráti­ca con el coe­fi­ciente a positivo.

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Fig. 2: Grá­fi­ca de una fun­ción cuadráti­ca con el coe­fi­ciente a negativo. 

Si te intere­sa puedes leer un poco más sobre el sis­tema carte­siano en este artículo.

Desplazamiento de las funciones Seno y Coseno

Hay un val­or en el eje "y" respec­to del cual las fun­ciones seno y coseno oscilan, si trazamos una línea hor­i­zon­tal en ese val­or del eje podemos ver que las fun­ciones se ale­jan des­de ese val­or una cier­ta can­ti­dad hacia arri­ba, luego vuel­ven y bajan exac­ta­mente la mis­ma cantidad.

El desplaza­mien­to que las fun­ciones Seno y Coseno tienen en el eje y está dado por la con­stante "c" en las ecua­ciones 1 y 2.

En las fig­uras 1 y 2 el desplaza­mien­to vale 0. 

Amplitud de las funciones Seno y Coseno

El tér­mi­no "a" que mul­ti­pli­ca a las fun­ciones seno y coseno, en las ecua­ciones 1 y 2 se lo conoce como ampli­tud de la fun­ción y es lo que deter­mi­na la excur­sión que ten­drá la fun­ción en el eje y.

Si nos ubi­camos en el val­or de desplaza­mien­to en el eje y, la fun­ción se moverá hacia arri­ba y aba­jo una can­ti­dad igual a el val­or de a.

Frecuencia de la funciones Seno y Coseno

Las fun­ciones Seno y Coseno son per­iódi­cas, esto quiere decir que hay una por­ción del dominio en el que la fun­ción toma val­ores úni­cos y luego este patrón se repite en el resto del dominio, infini­ta­mente. Es como si tomáramos ese tro­zo de la fun­ción, lo copi­amos y lo peg­amos hacia ade­lante y atrás en el eje x.

Esto quiere decir que podemos definir con qué fre­cuen­cia las fun­ciones se repiten. Si la fre­cuen­cia es may­or, la fun­ción se repe­tirá más veces en el eje x.

La fre­cuen­cia de una fun­ción se la suele rep­re­sen­tar con la letra f y su val­or conc­re­ta­mente está dado por el coe­fi­ciente b en las ecua­ciones 1 y 2.

Período de las funciones Seno y Coseno

El perío­do es la dis­tan­cia en el eje x que la fun­ción recorre des­de que comien­za has­ta que final­iza para luego volver a repetirse.

El perío­do se lo sim­boliza con la letra T en mayús­cu­la, no está a sim­ple vista en la fun­ción pero puede cal­cu­larse como 2 veces PI, divi­di­do por el val­or de la fre­cuen­cia, es decir:

(3)   \begin{equation*}        \boxed{T=\frac{2\pi}{f}} \end{equation*}

Sien­do f la fre­cuen­cia de la fun­ción, este val­or es el coe­fi­ciente b en las ecua­ciones 1 y 2.

Desfasaje de las funciones Seno y Coseno

El des­fasaje es el cor­rim­ien­to que tiene la fun­ción en el eje x, este cor­rim­ien­to puede ser a la izquier­da o a la derecha y está dado por el val­or que sumamos o resta­mos (respec­ti­va­mente) al val­or de b.x, en el argu­men­to de las fun­ciones seno y coseno, he rep­re­sen­ta­do este val­or como x0.

Relación que existe entre las funciones Seno y Coseno

Si vemos las fig­uras 1 y 2 vemos que las grá­fi­cas de la fun­ción seno y coseno son muy sim­i­lares, de hecho resul­tan idén­ti­cas a sim­ple vista sin exam­i­nar los ejes. Esto se debe a que la úni­ca difer­en­cia que existe entre ambas es que tienen un des­fasaje de 90 gra­dos o medio PI en radi­anes una de la otra.

Esto quiere decir que uti­lizan­do una fun­ción seno y aplicán­dole un des­fasaje podemos hac­er que sea idén­ti­ca al coseno y vis­cev­er­sa. Osea que dada la grá­fi­ca de una de estas fun­ciones podemos rep­re­sen­tar­la como seno o como coseno, matemáti­ca­mente es igual.

Los val­ores de las fun­ciones seno y coseno puras, es decir sen(x) y cos(x), los podemos rep­re­sen­tar uti­lizan­do un cír­cu­lo de radio de 1 cen­tra­do en el ori­gen como los cate­tos de un trián­gu­lo rec­tán­gu­lo que se for­ma con tres pun­tos. El primer pun­to es el ori­gen (0,0), el segun­do pun­to es un pun­to del cír­cu­lo que estará definido por un seg­men­to que parte des­de el ori­gen y tiene deter­mi­na­do ángu­lo respec­to de la parte pos­i­ti­va del eje x; y el ter­cer pun­to es la proyec­ción del segun­do pun­to sobre el eje x.

Lo ante­ri­or es bas­tante difí­cil de imag­i­nar pero podemos ver­lo ilustra­do en el sigu­iente gif toma­do de esta pági­na de Wikipedia.

Val­ores que toman las fun­ciones seno y coseno depen­di­en­do de los ángu­los en radi­anes. Fuente Wikipedia.

En todo momen­to vemos que el coseno se cor­re­sponde con el cate­to del eje x en el trián­gu­lo rec­tán­gu­lo y el val­or del seno está en el cate­to sobre el eje y.

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