Recta que pasa por dos puntos del plano cartesiano

Introducción

En este artículo vamos a deducir la expresión de una recta que pasa por dos puntos distintos del plano cartesiano.

Existe una única recta que pasa por dos puntos distintos dados.

Te recomiendo leer el artículo sobre funciones lineales para saber más sobre como representar rectas en el plano cartesiano.

Hice una aplicación para experimentar con funciones lineales, eventualmente la voy a mejorar para graficar más funciones y obtener más información de las mismas.





ejemplo del grafico en el sistema cartesiano de una funcion lineal, pendiente un medio, ordenada al origen igual a 1
Fig. 1: Ejemplo de la gráfica de una función lineal en el plano cartesiano.

Casos triviales

Antes de pasar a la deducción de la recta que pasa por dos puntos, vamos a ver algunos casos en los que podemos fácilmente decir de qué recta se trata, simplemente analizando los puntos que nos dan.

Recta Horizontal

Una recta horizontal es una recta paralela al eje X del plano cartesiano, osea que todo valor de X tendrá como imagen un mismo valor de Y.

Dados dos puntos podemos darnos cuenta de que se trata de una recta horizontal porque los valores Y son los mismos para ambos puntos, por ejemplo P1: (-3,4) y P2: (2,4). En este caso se trata de la recta Y = 4.

La expresión genérica de esta recta es:

Y = b

Siendo b el valor del eje Y por el que pasa la recta.

Como vemos en la expresión, la variable independiente no tiene ninguna incidencia en la función, sin importar cuál sea el valor de X, la función siempre tendrá el mismo valor para Y.

Recta Vertical

Se trata de una recta paralela al eje Y del plano cartesiano.

Dados dos puntos, podemos darnos cuenta de que se trata de una recta vertical porque los valores de X son los mismos para ambos puntos, por ejemplo P1: (1,-1) y P2: (1,4).

Para representar esta recta podemos decir que se trata de la recta:

X = c

Siendo c el valor por donde pasa la recta vertical.

Hay que tener en cuenta que una recta vertical no es una función lineal, ya que las funciones matemáticas requieren que para cada valor de la variable independiente (en este caso la variable x), exista un único valor para la función. En una recta vertical tenemos infinitos valores distintos para un único valor de X.

Recta identidad

La recta identidad es una recta inclinada a 45 grados que pasa por el origen y es característica porque para cualquier valor de la variable independiente X, la variable dependiente Y vale lo mismo. Es decir que si tomamos X = 2, el valor de Y también es 2.

La expresión de esta recta es:

Y = X

Entonces si por ejemplo nos dan los puntos P1: (-2,-2) y P2: (3,3), como vemos que para ambos puntos los valores de X y de Y coinciden, podemos fácilmente determinar que se trata de la recta identidad.

Recta identidad invertida

En este caso se trata de una recta similar a la recta identidad, solo que el valor de Y es el opuesto de X, por ejemplos si tenemos los puntos P1: (-2,2) y P2: (3,-3) , podemos determinar fácilmente que se trata de esta recta.

La expresión de esta recta es:

Y = – X

Deducción de la recta que pasa por dos puntos

Ahora vamos a deducir la expresión de una recta que pasa por dos puntos a partir de una recta genérica. Como se vio en el artículo de función lineal, una recta cualquiera se puede expresar como:

(1)   \begin{equation*}          f (X) = a . X + b \end{equation*}

donde a es la pendiente y b es la ordenada al origen de la función.

Vamos a considerar que tenemos dos puntos genéricos P1: (x1 , y1) y P2: (x2 , y2). Como queremos que ambos puntos pertenezcan a la recta, necesariamente tienen que satisfacer la expresión de la función lineal, por lo tanto podemos escribir dos ecuaciones:

(2)   \begin{equation*}       y_1 = a . x_1 + b \end{equation*}

(3)   \begin{equation*}      y_2 = a . x_2 + b\end{equation*}

Podemos plantear un sistema de dos ecuaciones en el que las dos incógnitas son a y b. Así que por ejemplo podemos tomar la ecuación 2 y despejar la incógnita b:

(4)   \begin{equation*}       b = y_1 - a . x_1 \end{equation*}

Luego tomamos esta expresión y la reemplazamos en la segunda ecuación 3:

(5)   \begin{equation*}       y_2 = a . x_2 + y_1 - a . x_1 \end{equation*}

Reagrupando y sacando factor común con la incógnita a tenemos:

(6)   \begin{equation*}       y_2 - y_1 = a . (x_2 - x_1) \end{equation*}

Finalmente la pendiente de la recta será igual a:

(7)   \begin{equation*}       a =   \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\end{equation*}

En la expresión 7 podemos ver que si los valores de X de ambos puntos coinciden (es decir el caso de la recta vertical), el denominador vale 0 y la expresión resulta indeterminada, impidiéndonos encontrar un valor para la pendiente.

Una vez que tenemos el valor de la pendiente, podemos reemplazarlo en en cualquiera de las ecuaciones del sistema para encontrar el valor de b.

(8)   \begin{equation*}      y_1 =    \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} . x_1 + b \end{equation*}

Despejando:

(9)   \begin{equation*}       b = y_1 - \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} . x_1  \end{equation*}

Con esto encontramos de manera genérica cuánto valen los coeficientes a y b de una recta que pasa por dos puntos cualquiera del plano:

(10)   \begin{equation*}       \boxed{a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}} \end{equation*}

(11)   \begin{equation*}       \boxed{b = y_1 - \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} . x_1 } \end{equation*}

Ahora simplemente reemplazamos los valores por los puntos dados y tenemos la expresión de la recta que pasa por dos puntos en particular.

Verificación

Una vez que tienes la expresión de la recta, no olvides reemplazar los puntos dados para verificar que ambos satisfacen la ecuación, si esto no ocurre, has cometido un error en algún paso de la deducción.

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